BLOG: स्पष्टपणे विचार करण्याची कला : सरळरेषीय पूर्वग्रह : तुम्ही एक कागद सातवेळा दुमडू शकता?

एका तलावाच्या पृष्ठभागावर वॉटर लिलीची पाने तरंगत आहेत, अशी कल्पना करा (Art of thinking clearly exponential growth). या पानांची संख्या दर दिवशी आदल्या दिवशीच्या दुपटीने वाढत आहे आणि तुम्ही वेळीच त्याकडे लक्ष दिलं नाही, तर 30 दिवसात संपूर्ण तलाव या पानांनी भरुन जाईल. त्यामुळे तलावातील इतर जीव देखील गुदमरुन मृत्यू पावतील. सुरुवातीला तुम्हाला ही पाने खूपच लहान वाटतात. त्यामुळे तुम्ही ठरवता की जेव्हा तलाव या पानांनी अर्धा व्यापेल तेव्हाच ती पाने तोडून टाकू. अशा परिस्थितीत, तलाव पूर्णपणे पानांनी भरण्यापासून वाचवण्यासाठी तुमच्याकडे किती दिवस असतील असे तुम्हाला वाटते?

अशावेळी तुमच्याकडे असेल फक्त एक दिवस! पानांची संख्या दर दिवशी आदल्या दिवशीच्या दुप्पटीने वाढत आहे. म्हणजेच 30 व्या दिवशी तलाव पूर्ण भरणार असेल तर, आदल्या दिवशी म्हणजेच 29 व्या दिवशी तो अर्धा भरलेला असेल.

आता आणखी एक उदाहरण पाहू. एक मोठा जाड कागदाचा तुकडा  घेऊन तो अर्ध्यातून दुमडा. त्यानंतर पुन्हा एकदा दुमडा. असे प्रत्येक वेळी दुमडल्याने त्या कागदी तुकड्याची जाडी आधीपेक्षा दुप्पट होत जाईल. जेव्हा तुम्ही तो चौथ्या वेळी दुमडाल तेव्हा त्याची जाडी मूळ जाडीच्या 16 पट म्हणजे जवळपास 1 से.मी. झालेली असेल.

असे करत करत तो कागद एकूण 33 वेळा अर्ध्यातून दुमडल्यानंतर त्याची जाडी किती झालेली असेल असे तुम्हाला वाटते? अर्थात तुम्ही कुठल्याही कागदाचा तुकडा 33 वेळा दुमडू शकणार नाही, पण जर तुम्ही तशी कल्पना केली तर त्याची जाडी असेल जवळपास 5400 किमी!

कुठलीही गोष्ट आपल्याला चकित करणाऱ्या दराने, अगदी कमी कालावधीमध्ये खूप मोठ्या संख्येने वाढण्याच्या प्रक्रियेला घातांकिय वाढ असं म्हटलं जातं. ही वाढ आपल्याला सहज फसवू शकते, कारण आपण खूपदा वाढीचा विचार करताना एकरेषीय वाढीबद्दलच विचार करतो. कुठलाही घटक दिलेल्या वेळेत ठराविक प्रमाणात वाढण्याच्या प्रक्रियेला एकरेषीय वाढ असं म्हटलं जातं. पर्यायीपणे आपण असं म्हणू शकतो की एखादा घटक जर एकरेषीय पद्धतीने वाढत असेल तर, दिलेल्या ठराविक वेळांच्या संचांमध्ये तो समान संख्येनेच वाढतो. आधीची वाढ त्याच्या नवीन वाढीवर कुठलाही प्रभाव टाकत नाही. उदा. एखादा बांधकाम करणारा गट प्रत्येक आठवड्याला एक किमी रोड बांधत असेल तर तो चार आठवड्यात 4 किमी रोड बांधेल. यात नव्याने बांधल्या जाणाऱ्या रोडच्या लांबीचा आधीच्या लांबीशी काहीही संबंध येत नाही.

याउलट जेव्हा एखाद्या गोष्टीचा वाढीचा दर हा त्या गोष्टीचा आधीच असणाऱ्या संख्येशी समानुपाती असतो, तेव्हा त्या वाढीला आपण घातांकीय वाढ असं म्हणतो. जसे की सुरुवातीच्या उदाहरणात आपण पाहिलं की लिलीची पानं “आदल्या दिवशीच्या तुलनेत दुपटीने” वाढत होती किंवा प्रत्येक वेळी दुमडल्यानंतर कागदाची जाडी “आधीपेक्षा दुप्पट” होत होती.

एकरेषीय वाढ आपल्याला उपजतपणे समजते, पण घातंकीय वाढीबद्दल आपली समज तितकीशी विकसित नसते. असं का होतं? कारण आपल्याला पूर्वीपासून त्याची कधी गरजच पडली नाही. बहुतांश वेळा आपल्या पूर्वजांनी एकरेषीय वाढच अनुभवली. जसं की, जो जास्त वेळ फळं शोधण्यात घालवेल त्याला जास्त फळं मिळतील. जर एका प्राण्याऐवजी 2 प्राण्यांची शिकार केली, तर जास्त दिवस मांस पुरेल. परंतु आज खूप साऱ्या गोष्टी घातंकीय पद्धतीने वाढताना दिसतात. आणि बऱ्याच वेळा त्याचं आकलन करण्यात आपण कमी पडतो.

उदा. जर एखाद्या वर्तमानपत्रात बातमी आली की रस्त्यावर होणाऱ्या अपघातांच्या संख्येत दरवर्षी 7 टक्क्यांची वाढ होत आहे, तर याचा नक्की काय अर्थ होतो हे आपल्याला तितकसं लवकर उमजणार नाही. परंतु जर तुम्ही गणकयंत्र  वापरुन हे सोडवण्याचा प्रयत्न केला, तर तुम्हाला जाणवेल की रस्त्यावरील होणाऱ्या अपघातांची संख्या दर 10 वर्षात दुप्पट होत आहे!

कुठलीही भौतिक गोष्ट जी घातंकीय पद्धतीने वाढत जाते. ती अगणितरित्या वाढतच जाईल का मग? तर याचे उत्तर नक्कीच नाही असं असेल. उदाहणार्थ, आपल्या आतड्यांमध्ये आढळणारा ई कॉली हा जीवाणू दर 20 मिनिटांनी विभाजन पावतो. अगदी काही दिवसात तो पूर्ण पृथ्वीवर व्यापू शकतो, पण त्याला उपलब्ध असणाऱ्या शर्करा आणि प्राणवायू पेक्षा जास्तीची गरज लागते आणि त्याची अगणित वाढ होण्यापासून रोखली जाते. अशाच प्रकारे प्रत्येक भौतिक गोष्टीच्या वाढीला काही ना काही  मर्यादा असतात.

प्राचीन लोककथांमध्ये घातंकीय वाढीबद्दल एक मजेशीर गोष्ट सांगितली जाते. एका राजाच्या दरबारातील एक खुशामत्या राजाला स्वतःच्या हाताने बनवलेला एक सुंदर बुद्धिबळाचा पट भेट म्हणून देतो. यावर राजा खुश होऊन त्या खुशामत्याला पाहिजे ते मागण्यास सांगतो. यावर खुशामत्या म्हणतो, “मला जास्त काही नको, फक्त या पटावर मावतील एवढेच तांदूळ द्या. फक्त एकच अट आहे की, पहिल्या घरात एक दाणा, त्यापुढील घरात २ दाणे आणि मग पुढील प्रत्येक घरात आधीच्या घरातल्या पेक्षा दुप्पट दाणे असे द्यावे.”

राजाला वाटते की किती कमी अपेक्षा आहेत या खुशामत्याच्या. फार फार तर एक पोत तांदूळ असेच देऊन टाकू आपण याला. पण जेव्हा राजाचे कर्मचारी खुशामत्याच्या अटीप्रमाणे तांदूळ भरु लागले तेव्हा त्यांना लक्षात आलं की खुशामत्याने मागितलेले तांदूळ कदाचित या संपूर्ण पृथ्वीवर देखील नसतील!!!

संबंधित ब्लॉग :

BLOG: मोदी-शाह मिसकॉल द्यायला का सांगताय?

BLOG: तथ्यप्रियता – भाग 1 : वाढती दरी

BLOG: तथ्यप्रियता – भाग 2 : गौरवशाली भूतकाळाचा भांडाफोड

BLOG: तथ्यप्रियता – भाग 3 : लोकसंख्येचा विस्फोट टाळायला गरीब लोक जगवावेत की नाही?

Art of thinking clearly exponential growth